Запятые в предложениях со словом однажды: какие 3-5 примеров? Часть речи?

Однажды - это наречие времени, отвечающее на вопрос "когда?", является членом предложения - обстоятельством: Однажды наша встреча всё-таки состоялась.

Здесь никаких оснований для постановки запятой нет, хотя некоторые упорно её ставят. Слово "однажды" относится к категории так называемых "ложных вводных слов", но таковым не является, потому что вводные слова не являются членами предложения - к ним нельзя поставить вопрос.

Ещё примеры: Подарили мне однажды музыкальную шкатулку на день рождения. И вот однажды случилось чудо.

После слова "однажды" может стоять запятая, если далее следует деепричастие или деепричастный оборот или распространённый уточняющий оборот с обстоятельственным значением: Однажды, состарившись, она уже не будет сниматься в кино. Однажды, вернувшись домой поздно вечером, я не застал там своего любимого дога Рэя.

Но запятая в этих предложениях относится не к слову "однажды", а к обособлению обстоятельств.

В приведённых в пояснению к вопросу предложениях запятые не нужны.