Как получают фрактальную кривую на плоскости?

Ну, можно, например, с помощью множества Мандельброта.

Собственно, само множество и не нужно, нужна его граница.

Зацепившись за одну из его граничных точек, нужно обследовать всё её окружение, определив, куда именно будет тянуться эта граница. Тоже самое сделать с новой ранее найденной граничной точкой.

Тут главное помнить, чтобы ошибочно не уйти по какой-нибудь ложной кривой внутрь множества, при проверке окружения текущей точки непременно нужно иметь несколько точек, не входящих в множество Мандельброта. Если вдруг таковых перестало находиться, то нужно вернуться на шаг назад и выбрать для проверки другую точку множества.