Как надо правильно писать: с Путином или с Путиным?

Русские фамилии, оканчивающиеся на -ов, -ев, -ёв, -ин, -ын, имеют в нашем языке совершенно особый, "фамильный" тип склонения. Если говорить о нашем горячо любимом президенте Российской Федерации Владимире Владимировиче Путине или же о любом другом русском мужчине по фамилии Путин, то у них как раз фамилия, подчиняющаяся правилам склонения русских фамилий на -ин. В творительном падеже у таких фамилий окончанием -ым. Следовательно, пишем "с Путиным": встретился с Путиным, пообедал с Путиным. Это если речь идёт о нашем, русском человеке.

Но теоретически Путин может быть и иностранной фамилией. Вот тогда это слово будет подчиняться правилам склонения существительных второго склонения (дом, стол и т. п.), а соответствующая женская фамилия будет вообще неизменяемой. В творительном падеже мужского рода будет окончание -ом: "встретился с Джоном Путином", например. Однако вряд ли в вопросе имелся в виду этот случай.