Как правильно говорить: случился случай или произошёл случай? Почему?

Потому что "случился случай" - это тавтология, такая же как "масло масляное" или "спросить вопрос".

В отношении случая уместно применять сочетания : "Случай произошёл", "Вспомнился забавный случай", "Случай имел место" и даже "Приключился со мной интересный случай" и другие .

А со словом "случился" нормально будут сочетаться: "случилось страшное", "случился конфуз", "случился инфркт и т.д.

Хотя встречаются словосочетания и "случился случай", но обычно всё таки с добавлением эпитетов, что бы не слишком сахар был сахарный. Что то типа "И вот тут то и случился этот страшный и загадочно запутанный случай".