Слово проспорили­ следует писать слитно, раздельно или через дефис?

Следует изначально определить, что такое "про". "Про" может быть приставкой (проехали, происки, продленный) и предлогом (про мир, про тебя, про судьбу), но не корнем и не частицей, которые могут писаться через дефис при соединении с другим словом.

Дальше надо запомнить: перед глаголами никогда не бывает предлогов.

Следовательно, про- в глаголе "проспорили" - приставка, слово "проспорили" пишется слитно, дефисное и раздельное написание в данном слове отпадает.