Какова этимология слов “империя”, “император”?

Этимология самая простая. Примерно такая же как у "владыки", "руководителя", "властителя", "правителя", "повелителя". То есть в основе его лежат понятия власть, права на руководство и повеления.

Происходят они от латинского слова "imperium" (приказание, власть, полнота власти, государство) и от "imperare" (приказывать, повелевать), а также из in (в) + parāre ( готовить, подготовлять, устраивать, организовывать) а ещё из праиндоевропейского *perə- (поддерживать, организовывать).