Как пишется: при разведке или при разведки?

В данном случае слово "разведка" употреблено в предложном падеже (При ком? При чём?). Соответственно, слово должно писаться как "при разведкЕ". "Разведки" - это форма родительного падежа данного слова (Кого, Чего?), и употребляется она в других ситуациях (например, "из разведки").