По полудню или пополудню, слитно или раздельно пишется и почему?

По - это предлог, а он всегда пишется раздельно с существительными.

Надо писать "по полудню".

(Вообще правильнее говорить "полдень", а не "полудень", и я слабо себе представляю, где можно употребить подобное словосочетание).

Важно: не путать со словом пополудни. Это старинное слово означает "после 12 часов" и пишется с "и" на конце.

Был уже час пополудни и все работники разошлись на перерыв.

С пяти утра и до четырех часов пополудни шел сильный дождь, поэтому мы остались дома и ничуть не расстроились.