ДАЮ МНОГО БАЛЛОВ Тело массы m, после свободного падения с некоторой высоты попадает в водоём глубиной L, упруго ударяется о дно и останавливается на половине глубины. С какой высоты H падало тело? Средняя плотность тела равна плотности воды, изменение скорости при ударе о воду и силой сопротивления движению в воздухе пренебречь. Силу сопротивления движению в воде принять в виде F = -k*V, коэффициент k считать известным. (V-скорость) Желательно с подробным решением.

Question

Физика

Ионафан

6 год назад

ДАЮ МНОГО БАЛЛОВ Тело массы m, после свободного падения с некоторой высоты попадает в водоём глубиной L, упруго ударяется о дно и останавливается на половине глубины. С какой высоты H падало тело? Средняя плотность тела равна плотности воды, изменение скорости при ударе о воду и силой сопротивления движению в воздухе пренебречь. Силу сопротивления движению в воде принять в виде F = -k*V, коэффициент k считать известным. (V-скорость) Желательно с подробным решением.

ОТВЕТЫ

Александрин

Jul 5, 2019

Мы будем считать тело материальной точкой, чтобы не связываться со сложностями, когда тело проникает в воду и погружено частично (все равно это будет малая поправка к решению)

Итак, сначала очевидное, из закона сохранения энергии мы найдем скорость тела на подлете к воде

$mv^2/2 = mgH\\amp;#10;v = \sqrt{2gH}$

При движении в воде сила Архимеда уравновешивается силой тяжести (это следует из условия, причем дважды следует). Поэтому в воде закон Ньютона (что вверх, что вниз) можно записать в следующей форме

$m\frac{\Delta v}{\Delta t} = -kv = -k\frac{\Delta S}{\Delta t}\\amp;#10;m\Delta v = -k\Delta S$

Это для модуля скорости (он все время уменьшается, а при упругом ударе мгновенно меняется направление, но не модуль)

Итак, мы видим, что просуммировав все дельты, мы получим слева полное изменение скорости, а справа - полное расстояние, пройденное телом в воде (3L/2). Отсюда

$\displaystyleamp;#10;m(0-v) = -k\frac{3L}{2}\\amp;#10;v = \frac{3kL}{2m}\\amp;#10;\sqrt{2gH} = \frac{3kL}{2m}\\\\amp;#10;H = \frac{9k^2L^2}{8gm^2}$

P.S. (Для старших девочек и мальчиков) НЕ НАДО РЕШАТЬ ДИФУР В ВОДЕ, И БЕЗ НЕГО ВСЕ ЧТО НУЖНО ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛЕГКО ДОСТАТЬ!!!

Уравнение движения тела в воде:

$a = -\frac{k}{m}v \ ;$

Знак минус отражает противоположность силы сопротивления в воде (и соответствующего ускорения) – направлению движения.

Домножим всё на малое приращение времени: $\Delta t \to 0 ,$ в течение которого скорость и ускорение можно считать неизменными:

$a \Delta t = -\frac{k}{m}v\Delta t \ ;$

$\Delta v = -\frac{k}{m}\Delta s \ ;$

Раз любое малое приращение скорости в воде пропорционально соответствующему приращению пути, то и всё изменение скорости пропорционально всему подводному пути. При этом при упругом ударе скорость не меняется по модулю, а меняет лишь направление, при этом направление вектора скорости относительно (!) направления траектории, очевидно, остаётся неизменно сонаправленным. Так что всё движение в воде можно рассматривать, как движение на дистанцию $\frac{3}{2} L \ \ :$

$v_o - 0 = -\frac{k}{m} ( 0 - \frac{3}{2} L ) \ ;$

$v_o = \frac{3k}{2m} L \ ;$

С другой стороны, с точки зрения кинематики равноускоренного движения в воздухе: изменение квадрата скорости равно удвоенному произведению пути и ускорения:

$v_o^2 - 0 = 2gH \ ;$

$v_o^2 = 2gH = ( \frac{3k}{2m} L )^2 \ ;$

$H = \frac{9}{8g} ( \frac{kL}{m} )^2 \ ;$ это ответ.

139