В треугольнике ABC медианы пересекаются в точке O. Докажите что площади треугольников ABО, BCO и CАO равны.

Заметим, что медиана AM (продолжение AO до стороны BC) разбивает треугольник на два равновеликих:

Треугольники ABM и AMC имеют равные основания и общую высоту. 

Треугольники ОBM и ОMC тоже равновеликие, потому что тоже имеют равные основания и общую высоту

Значит, площади треугольников ABO и AOC тоже равны (от равновеликих фигур отрезаются равновеликие)

Аналогично доказывается равенство площадей ABO и BOC