Батарея конденсаторов с вертикально расположенными
пластинами и с емкостями соответственно 5, 8 и 1 мкФ, изображенная на
рисунке 15.4, была заряжена от источника с напряжением 250 В, который
подключался к точкам А и В. а) Какую энергию получила батарея? б)
Каким станет напряжение на батарее, если после отключения ее от
источника второй конденсатор вертикально на половину погрузить в
трансформаторное масло с диэлектрической проницаемостью 2? Ответ:
127,5 мДж, 227 В.

Question

Физика

Bameschsa

6 год назад

Батарея конденсаторов с вертикально расположенными
пластинами и с емкостями соответственно 5, 8 и 1 мкФ, изображенная на
рисунке 15.4, была заряжена от источника с напряжением 250 В, который
подключался к точкам А и В. а) Какую энергию получила батарея? б)
Каким станет напряжение на батарее, если после отключения ее от
источника второй конденсатор вертикально на половину погрузить в
трансформаторное масло с диэлектрической проницаемостью 2? Ответ:
127,5 мДж, 227 В.

ОТВЕТЫ

Биркин

Jul 5, 2019

А) Проводник между $C_1$ и $C_2$ – изолированный, так что:

$Q_1 = Q_2 = Q \ ;$

$U_1 = \frac{ Q }{ C_1 } \ ;$

$U_2 = \frac{ Q }{ C_2 } \ ;$

Складываем:

$U = Q ( \frac{1}{ C_1 } + \frac{1}{ C_2 } ) \ ;$

Ёмкость на нижней ветке:

$C = \frac{Q}{U} = \frac{1}{ 1/C_1 + 1/C_2 } \ ;$

Энергия, аккумулированная на нижней ветке:

$W_{12} = \frac{ C U^2 }{2} \ ;$

На верхней:

$W_3 = \frac{ C_3 U^2 }{2} \ ;$

Во всей цепи:

$W = W_{12} + W_3 = \frac{ C U^2 }{2} + \frac{ C_3 U^2 }{2} = ( C_{12} + C_3 ) \frac{ U^2 }{2} \ ;$

$W = ( \frac{1}{ 1/C_1 + 1/C_2 } + C_3 ) \frac{ U^2 }{2} \approx$

$\approx ( \frac{1}{ 1 \ 000 \ 000 \ / \ 5 \ + \ 1 \ 000 \ 000 \ / \ 8 } + 1 \ / \ 1 \ 000 \ 000 ) \frac{ 250^2 }{2} \approx 127.5$ мДж ;

б) Верхняя половина второго конденсатора имеет половину его полной ёмкости. Нижняя половина второго конденсатора имеет половину ёмкости исходного, умноженную на диэлектрическую проницаемость. Итого обновлённая ёмкость второго конденсатора будет:

$C_2 = \frac{C_2}{2} + \frac{C_2}{2} \varepsilon = \frac{ 1 + \varepsilon }{2} C_2 gt; C_2 \ ;$

Короче говоря, ёмкость второго конденсатора увеличится, он наэлектризует, поляризует и втянет в себя масло, совершив работу. Так что второй конденсатор начнёт втягивать в себя и заряд $\Delta Q$ по правому концу нижней ветки. Противоположный заряд перетечёт и по изолированному проводнику нижней ветки от первого ко второму конденсатору. И такой же заряд $\Delta Q$ перетечёт и по левой стороне цепи между третьим и первым конденсатором. Из-за этого изменятся и напряжения на конденсаторах, а напряжения верхней и нижней ветки, в конечном счете, должны быть одинаковыми.

Из-за увеличения ёмкости второго конденсатора, увеличится и ёмкость всей нижней ветки. Обновлённая ёмкость нижней ветки будет:

$C = \frac{1}{ 1/C_1 + 1/C_2 } = 1 / ( \frac{1}{C_1} + \frac{2}{ C_2 ( 1 + \varepsilon ) } ) \ ;$

Однако суммарный заряд на точках исходного подключения останется прежним, именно он будет определять конечное напряжение. Заряд до погружения в масло можно посчитать, как:

$Q = (C_3+C)U \ ;$

Заряд после погружения в масло можно посчитать, как:

$Q = (C_3+C)U \ ;$

А поскольку заряд сохраняется, то:

$(C_3+C)U = (C_3+C)U \ ;$

$U = \frac{ C_3 + C }{ C_3 + C } U = \frac{ C_3 \ + \ 1/( \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} ) }{ C_3 \ + \ 1/( \frac{1}{C_1} + \frac{2}{C_2 ( 1 + \varepsilon ) } ) } U \ ;$

$U = \frac{ C_3 \ + \ 1/( \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} ) }{ C_3 \ + \ 1/( \frac{1}{C_1} + \frac{2}{C_2 ( 1 + \varepsilon ) } ) } U \approx \frac{ 1 \ + \ 1/( \frac{1}{5} + \frac{1}{8} ) }{ 1 \ + \ 1/( \frac{1}{5} + \frac{2}{8 ( 1 + 2 ) } ) } 250 \approx \frac{901}{1001} 250 \approx 225$ В .

182