Написать уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку

Question

Математика

Авенир

7 год назад

Написать уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку

ОТВЕТЫ

Kiriakovich

Jul 4, 2019

Из уравнения прямой легко заключить что ее направляющий вектор

$\vec{a} = \{-2,-1,1\}$

Кроме того, эта прямая проходит через точку

$P = (-1, -4, 1)$

что тоже видно из уравнения. Теперь подумаем, чтобы найти уравнение плоскости, нужно как минимум найти вектор нормали к ней. Этот вектор будет перпендикулярен вектору PM и направляющему вектору прямой. Кроме этого, по условию плоскость не проходит через начало координат, а значит ее уравнение можно привести к виду

$(\vec{r}\cdot\vec{n})=1$

В совокупности с условиями перпендикулярности имеем (подставим в равенство выше вектор точки M)

$\displaystyleamp;#10;\left\{amp;#10;\begin{aligned}amp;#10;amp;-2n_x+n_y-n_z = 1\\amp;#10;amp;n_x-5n_y+2n_z = 0\\amp;#10;amp;2n_x+n_y-n_z = 0amp;#10;\end{aligned}amp;#10;\right.\\\\amp;#10;\Delta = \left|\begin{array}{ccc}-2amp;1amp;-1\\1amp;-5amp;2\\2amp;1amp;-1\end{array}\right| = -12\\\\amp;#10;n_x = \left|\begin{array}{ccc}1amp;1amp;-1\\0amp;-5amp;2\\0amp;1amp;-1\end{array}\right|/\Delta_x = -3/12\\amp;#10;n_y = \left|\begin{array}{ccc}-2amp;1amp;-1\\1amp;0amp;2\\2amp;0amp;-1\end{array}\right|/\Delta_x = -5/12\\amp;#10;n_z = \left|\begin{array}{ccc}-2amp;1amp;1\\1amp;-5amp;0\\2amp;1amp;0\end{array}\right|/\Delta_x = -11/12\\\\$

$(\vec{r}\cdot\vec{n}) = 1\\amp;#10;3x+5y+11z = -12amp;#10;$

119