Доказать что дробь m (m-5)/2 есть целое число при любом натуральном m

Заметим, что дробь будет являться натуральной, если выражение сверху четно, так как иначе будет несократимая дробь. Значит, нам нужно доказать, что выражение m*(m-5) четно.
Рассмотрим четность m.
Если m четно, то m - 5 нечетно, и отсюда их произведение четно.
Если m нечетно, то m - 5 четно, и отсюда их произведение четно.
Мы перебрали все случаи и обнаружили, что m*(m-5) четно всегда. Следовательно, выражение (m*(m-5))/2 - натурально, что и требовалось доказать