посчитайте ПРОШУ

sqrt(2)

Обозначим выражение, предел которого ищем, буквой А.

Умножим А на (sqrt(x^2+1)+1)/ (sqrt(x^2+2)+2)=B

Предел В равен 2/(2*sqrt(2))=1/sqrt(2)=С

Предел произведения равен пределу  x^2/x^2=1

Значит искомый предел равен

1/С=sqrt(2)

Здесь всюду  sqrt   - корень квадратный.