Arcsin x≤arccos x посчитайте разобраться

Даны свойства арксинуса и арккосинуса, их графики, формулы, таблица арксинусов и арккосинусов. Выражения через комплексные числа, гиперболические функции. Производные, интегралы, разложение в степенной ряд.

Содержание

Арксинус, arcsin

Определение и обозначения

График функции арксинус

Арккосинус, arccos

Определение и обозначения

График функции арккосинус

Четность

Свойства - экстремумы, возрастание, убывание

Таблица арксинусов и арккосинусов

Формулы

Формулы суммы и разности

Выражения через логарифм, комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

Производные

Интегралы

Разложение в ряд

Обратные функции

См. также: Определения обратных тригонометрических функций

Арктангенс, арккотангенс

Синус, косинус

Тангенс, котангенс

Арксинус, arcsin

Определение и обозначения

Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения –1 ≤ x ≤ 1 и множество значений –π/2 ≤ y ≤ π/2.

sin(arcsin x) = x ;

arcsin(sin x) = x .

Арксинус иногда обозначают так:

.

Решение задач

От 25 рублей, от 2 часов

Качественно, с объяснениями!

Контрольные работы

От 120 рублей, от 1 дня

Качественно, с объяснениями!

График функции арксинус

График функции y=arcsin(x)

График функции y = arcsin x

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Определение и обозначения

Арккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения –1 ≤ x ≤ 1 и множество значений 0 ≤ y ≤ π.

cos(arccos x) = x ;

arccos(cos x) = x .

Арккосинус иногда обозначают так:

.

График функции арккосинус

График функции y=arccos(x)

График функции y = arccos x

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:

arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:

arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x ≠ ± arccos x

Свойства - экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

y = arcsin x y = arccos x

Область определения и непрерывность – 1 ≤ x ≤ 1 – 1 ≤ x ≤ 1

Область значений

Возрастание, убывание монотонно возрастает монотонно убывает

Максимумы

Минимумы

Нули, y = 0 x = 0 x = 1

Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = π/2

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

x arcsin x arccos x

град. рад. град. рад.

– 1 – 90° – 180° π

– – 60° – 150°

– – 45° – 135°

– – 30° – 120°

0 0° 0 90°

30° 60°

45° 45°

60° 30°

1 90° 0° 0

≈ 0,7071067811865476

≈ 0,8660254037844386

Решение задач

От 25 рублей, от 2 часов

Качественно, с объяснениями!

Контрольные работы

От 120 рублей, от 1 дня

Качественно, с объяснениями!

Формулы

См. также: Вывод формул обратных тригонометрических функций

Формулы суммы и разности

при или

при и

при и

при или

при и

при и

при

при

при

при

Решение задач

От 25 рублей, от 2 часов

Качественно, с объяснениями!

Контрольные работы

От 120 рублей, от 1 дня

Качественно, с объяснениями!

Выражения через логарифм, комплексные числа

См. также: Вывод формул

Выражения через гиперболические функции

Производные

;

.

См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >

Производные высших порядков:

,

где – многочлен степени . Он определяется по формулам:

;

;

.

См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >

Интегралы

Делаем подстановку x = sin t. Интегрируем по частям, учитывая что –π/2 ≤ t ≤ π/2, cos t ≥ 0:

.

Выразим арккосинус через арксинус:

.

Разложение в ряд

При |x| < 1 имеет место следующее разложение:

;

.

Решение задач

От 25 рублей, от 2 часов

Качественно, с объяснениями!

Контрольные работы

От 120 рублей, от 1 дня

Качественно, с объяснениями!

Обратные функции

Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус, соственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:

sin(arcsin x) = x

cos(arccos x) = x .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:

arcsin(sin x) = x при

arccos(cos x) = x при .

Использованная литература:

И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 09-07-2014 Изменено: 23-12-2018

См. также: Определения обратных тригонометрических функций

Арктангенс, арккотангенс

Синус, косинус

Тангенс, котангенс