На данной окружности w выбрана фиксированная точка А. Выберем на окружности две произвольные точки В и С, и найдём точку D пересечения биссектрисы угла АВС с окружностью w. Пусть К-такая точка, что точка D-середина отрезка АК. Прямая КС вторично пересекает окружность в точке Р (Р не равна С). Докажите, что точка Р не зависит от выбора точек В и С. МУНИЦИПАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ

Если Р не зависит от выбора точек В и С, значит рисунок симметричен относительно прямой ВС. Точка К лежит вне окружности. То есть надо доказать, что прямая КС никогда не является касательной. Но это действительно так, иначе КС- касательная, значит угол АСК - прямой, АС-диаметр, треугольники АВС и  ADC прямоугольные, биссектрича АД делит на углы 45 градусов, значит ABCD- ромб. Ромб может быть вписан в окружность, только если является квадратом. Тогда AD параллельна ВС, и КС пересекает окружность. ЧТо и требовалось доказать.