Пожалуйста посчитайте пожалуйста:((Напишите уравнение асимтоты гиперболы $3{x}^{2} - 4 {y}^{2}= 12$

Question

Математика

Авдоким

5 год назад

Пожалуйста посчитайте пожалуйста:((Напишите уравнение асимтоты гиперболы $3{x}^{2} - 4 {y}^{2}= 12$

ОТВЕТЫ

Auttenberg Sofia

Nov 7, 2020

$3 {x}^{2}- 4 {y}^{2}= 12 \\- 4 {y}^{2}= 12 - 3 {x}^{2}\\ 4 {y}^{2}= 3 {x}^{2}- 12 \\{y}^{2}=\frac{3 {x}^{2}- 12}{4}\\ y = ± \frac{ \sqrt{ 3{x}^{2} - 12 } }{2}$

Пусть уравнение асимптоты к гиперболе: $y=kx+b$ , где $k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}$ , а $b = \lim_{x \to \infty}(y - kx)$

Найдём значения k и b для 2 случаев:

$1) \: y =\frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } }{2}, \: x \geqslant 2\\ 2) \: y =-\frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } }{2} , \: x \leqslant- 2$

Случай первый:

$k =\lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } }{2} }{x}= \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } }{2x}= \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{ {x}^{2}(3 -\frac{12}{ {x}^{2} })} }{2x}= \lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{3 +\frac{12}{ {x}^{2} } } }{2x}= \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{3 +\frac{12}{ {x}^{2} } } }{2}=\frac{ \sqrt{3 + 0} }{2}=\frac{ \sqrt{3} }{2}$

$b = \lim_{x \to \infty}( \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } }{2}-\frac{ \sqrt{3} }{2} x) = \lim_{x \to \infty}( \frac{ \sqrt{3 {x}^{2}- 12} -\sqrt{3} x }{2} ) = \lim_{x \to \infty}( \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } -\sqrt{3}x }{2}\times\frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } +\sqrt{3} x }{ \sqrt{3 {x}^{2}- 12}+\sqrt{3} x} ) = \lim_{x \to \infty} \frac{3 {x}^{2} - 12 -3 {x}^{2}}{2( \sqrt{3 {x}^{2}- 12} + 3x) }= \lim_{x \to \infty} \frac{ - 6}{ \sqrt{3 {x}^{2}- 12}+ 3x}=\frac{ - 6}{ \infty }= 0$

Итого, первая асимптота: $y_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$

Случай второй:

$k =\lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } }{2} }{x}=- \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } }{2x}=-\frac{ \sqrt{3} }{2}$

$b = \lim_{x \to \infty}( \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } }{2}+\frac{ \sqrt{3} }{2} x) = \lim_{x \to \infty}( \frac{ \sqrt{3 {x}^{2}- 12}+\sqrt{3} x }{2} ) = \lim_{x \to \infty}( \frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 }+\sqrt{3}x }{2}\times\frac{ \sqrt{3 {x}^{2} - 12 } - \sqrt{3} x }{ \sqrt{3 {x}^{2}- 12}-\sqrt{3} x} ) = \lim_{x \to \infty} \frac{3 {x}^{2} - 12 -3 {x}^{2}}{2( \sqrt{3 {x}^{2}- 12} -3x) }= \lim_{x \to \infty} \frac{ - 6}{ \sqrt{3 {x}^{2}- 12} -3x}=\frac{ - 6}{ \infty }= 0$

Вторая асимптота: $y_{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}x$

: $y_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ , $y_{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}x$

339

Пожалуйста посчитайте пожалуйста:((Напишите уравнение асимтоты гиперболы ​

Пожалуйста посчитайте пожалуйста:((Напишите уравнение асимтоты гиперболы $3{x}^{2} - 4 {y}^{2}= 12$