Найдите значения мгновенной скорости при S = 4 м, S = 8 м (см. рис). Ответы дайте в м/с

Question

Елеазар

5 год назад

ОТВЕТЫ

Добрин

Oct 7, 2020

14,3 и 11 м/с

Попробуем решить эту задачу аналитически (возможно есть более изящный метод, но я его пока не вижу). Из кинематики известно следующее соотношение

$s=v_{cp}t$ (1)

На графике изображена верхняя половина эллипса с полуосями 8 и 11 единиц (насчет 11 не уверен - взял примерно). Его явное уравнение будет иметь форму

$v_{cp}(S)=frac{11}{8}sqrt{64-(S-8)^2}$

С учетом (1) инверсная зависимость времени от пути

$t(S)=frac{S}{v_{cp}(S)}=frac{8S}{11sqrt{64-(S-8)^2} }$ (2)

Постараемся найти прямую зависимость S(t)

$8S=11tsqrt{64-(S-8)^2}$

$64S^2=121t^2(64-(S-8)^2)$

$64S^2=121t^2(16S-S^2)$

$frac{64S^2}{16S-S^2}=121t^2 => frac{64S}{16-S}=121t^2$

$S(t)=frac{1936t^2}{64+121t^2}$ - нам повезло что уравнение разрешимо.

Мгновенную скорость легко найти, как первую производную пути по времени

$v(t)=frac{d}{dt}S(t) =frac{247808t}{(121t^2+64)^2}$ (3)

Для S=4 и S=8 можно найти моменты времени по формуле (2)

$t(4)=0.42$ с

$t(8)=0.72$ с

Мгновенная скорость для S=4 (здесь мгновенная скорость максимальна)

$v(0.42)approx14.3$ м/с

Для S=8 найдем

$v(0.72)approx11$ м/с

В качестве бонуса привожу график зависимости мгновенной скорости от пути.

Прошу прощения, взял малую полуось вместо положенных 8 равной четырем, сейчас поправлю.

295