Плоский склон горы образует с горизонтом угол alpha = 30. Из миномета, расположенного на склоне, производят выстрел, под таким углом β к поверхности склона, что продолжительность полета мины наибольшая. Мина падает на склон на расстоянии S = 800 м от точки старта. 1) Под каким углом β к поверхности склона произведен выстрел? 2) Найдите величину v_0 начальной скорости мины. Ускорение свободного падения `g = 10 м/с^2. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

Question

Физика

Zhakekezn

6 год назад

Плоский склон горы образует с горизонтом угол alpha = 30. Из миномета, расположенного на склоне, производят выстрел, под таким углом β к поверхности склона, что продолжительность полета мины наибольшая. Мина падает на склон на расстоянии S = 800 м от точки старта. 1) Под каким углом β к поверхности склона произведен выстрел? 2) Найдите величину v_0 начальной скорости мины. Ускорение свободного падения `g = 10 м/с^2. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

ОТВЕТЫ

Онисим

Oct 7, 2020

Достаточно очевидно, что стрелять надо в сторону уменьшения склона.

Направим ось x вниз вдоль склона, а ось y перпендикулярно ей от склона. В такой системе координат ускорение свободного падения имеет проекции на обе оси

$g_x = gsinalpha;quad g_y = -gcosalpha$

А начальная скорость проецируется на эти оси так

$v_{0x} = v_0cosbeta;quad v_{0y} = v_0sinbeta$

Уравнения движения

$x(t) = v_{0x}t + g_xt^2/2\y(t) = v_{0y}t + g_yt^2/2$

Время полного полета находим из равенства y(t)=0

$T = -2v_{0y}/g_y$

Расстояние вдоль склона, на котором упало тело

$S = x(T) =-2v_{0x}v_{0y}/g_y+ 2g_xv_{0y}^2/g_y^2 = \= 2v_0^2(cosbetasinbeta + sinalphasin^2beta/cosalpha)/(gcosalpha)$

Выражение вне скобок не зависит от угла β, поэтому исследуем, когда максимально выражение внутри скобок

$sinbetacosbeta + tanalphasin^2beta = \=0.5[sin2beta + tanalpha(1-cos2beta)] = \0.5[sinalpha + sin2betacosalpha-sinalphacos2beta]/cosalpha = \= 0.5[sinalpha + sin(2beta-alpha)]/cosalpha$

Это выражение максимально когда второй синус в квадратных скобках равен единице, то есть при β = π/4 + α/2. В нашем случае это 45+15 = 60 градусов.

Сама максимальная дальность полета равна

$displaystyle\\S = frac{v_0^2(1+sinalpha)}{gcos^2alpha}$

Отсюда

$displaystyle\v_0 = cosalphasqrt{frac{gS}{1+sinalpha}} approx 63.2text{ m/s}$

985