Найдите явный вид матриц-операторов компонент углового момента $hat{J}_i$ в состоянии с полным моментом $J = 1$

Question

Физика

Ким

6 год назад

Найдите явный вид матриц-операторов компонент углового момента $hat{J}_i$ в состоянии с полным моментом $J = 1$

ОТВЕТЫ

Jordanka

Oct 7, 2020

Напомним основные свойства операторов углового момента с J=1

$hat{J}_z|mrangle = m|mrangle\hat{J}^2|mrangle = J(J+1)|mrangle = 2|mrangle$

Введем повышающий и понижающий операторы

$hat{J}_pm = hat{J}_xpm ihat{J}_y$

И вспомним их действие на $|mrangle$

$hat{J}_pm|mrangle = k_pm|mpm1rangle$

Чтобы найти коэффициенты, отметим, что

$|k_+|^2 = langle m| hat{J}_-hat{J}_+|mrangle = langle m| hat{J}^2-hat{J}_z^2-hat{J}_z|mrangle = 2-m^2-m\|k_-|^2 = langle m| hat{J}_+hat{J}_-|mrangle = langle m| hat{J}^2-hat{J}_z^2+hat{J}_z|mrangle = 2-m^2+m$

И поймем очевидное, что возможны лишь состояния с m=-1, 0, 1. Теперь мы можем понять, что

$hat{J}_+|{-1}rangle = sqrt{2}|0rangle;quadhat{J}_+|0rangle = sqrt{2}|1rangle;quadhat{J}_+|1rangle = 0\hat{J}_-|1rangle = sqrt{2}|0rangle;quadhat{J}_-|0rangle = sqrt{2}|{-1}rangle;quadhat{J}_-|{-1}rangle = 0\$

Теперь рассмотрим произвольное состояние

$|Psirangle =alpha|1rangle+beta|0rangle+gamma|{-1}rangle equiv (alpha,beta,gamma)^T$

Действие на него оператора $hat{J}_z$ сводится к

$hat{J}_z|Psirangle = alpha|1rangle-gamma|{-1}rangle equivbegin{pmatrix} 1&0&0\0&0&0\0&0&-1end{pmatrix}begin{pmatrix}alpha\ beta\ gammaend{pmatrix}$

Оператор $hat{J}_x = (hat{J}_++hat{J}_-)/2$ , поэтому

$hat{J}_x|Psirangle = 2^{-1/2}(beta|1rangle + (alpha+gamma)|0rangle + beta|{-1}rangle)equivbegin{pmatrix} 0&sqrt{2}/2&0\sqrt{2}/2&0&sqrt{2}/2\0&sqrt{2}/2&0end{pmatrix}begin{pmatrix}alpha\ beta\ gammaend{pmatrix}$

Аналогично $hat{J}_y = i(hat{J}_- - hat{J}_+)/2$ , поэтому

$hat{J}_y|Psirangle = i2^{-1/2}(-beta|1rangle + (alpha-gamma)|0rangle + beta|{-1}rangle)equivbegin{pmatrix} 0&-isqrt{2}/2&0\isqrt{2}/2&0&-isqrt{2}/2\0&isqrt{2}/2&0end{pmatrix}begin{pmatrix}alpha\ beta\ gammaend{pmatrix}$

827

Найдите явный вид матриц-операторов компонент углового момента в состоянии с полным моментом

Найдите явный вид матриц-операторов компонент углового момента $hat{J}_i$ в состоянии с полным моментом $J = 1$