Как пишется слово начинающему­?

Заданное слово (никак не словосочетание) является причастием, действительным настоящего времени.

Образовано от глагола "начинАть".

На этот же третий слог приходится ударение и в причастии.

Проверить гласный "а" в первом слоге можно изменением формы однокоренного слова "начать": в формах прошедшего времени "нАчал, нАчали" этот гласный находится под ударением.

С помощью этого же однокоренного глагола проверяется и безударный гласный "и", только здесь нужно вспомнить, что в русском языке существует морфологическое чередование "а (я) - ин", как и в словах, например, жать - пожинать; мять - приминать. Не вспоминается? Тогда еще одно проверочное слово с ударным "и" -- "почИн".

Остается проверить правильность написания в окончании гласной "е".

Гласные в падежных окончаниях причастий определяются так же, как и в окончаниях прилагательных.

Задаем вопросы и склоняем по образцу прилагательных, что не должно вызывать никаких затруднений.

Слово задано в форме дательного падежа (кому? -- начинающему автору). Вопрос от определяемого существительного к причастию (какОму автору?) имеет окончание "ому", поэтому окончание в причастии -- "-ему" -- начинающЕМУ.

Так определяются и остальные падежные окончания этого причастия.