Можно ли на просьбу не оскорблять друг друга, ответить - Какой он мне друг?

Если речь идёт об игре слов и вы желаете обыграть ответной фразой слово "друг", то такое допустимо. Правда, возможно, что не все этот оборот поймут т.к. в подобные моменты все находятся на эмоциях и не разу врубаются во фразеологические тонкости.

А, если вам скажут, например, "не оскорбляйте один другого"? Что тут ответить?

Или, если ваш оппонент вдруг "полезет в бутылку", придерётся к слову "друг", начнёт возводить на вас напраслину, типа "он мне ещё в друзья набивается!"... Конфликт не погаснет, а разгорится с новой силой. Игра слов применима не везде. Лучше играть словами в проверенной компании.