Как пишется: в болтающемся рукаве или в болтающимся рукаве?

Начать нужно с определения, к какой части речи относится слово, буква в котором вызывает затруднение при написании: "болтающ(е/и)мся" - "болтающийся" - "болтаться". Как не трудно заметить - это причастие. А в причастиях гласные в окончаниях используются точно по тому же принципу, что и в окончаниях имен прилагательных. Для прилагательных же существует правило, которое гласит, что в прилагательных с основой на г, к, х, ц и шипящие в предложном падеже (а в предлагаемом в вопросе словосочетании причастие стоит в предложном падеже, поскольку в предложном падеже стоит имя существительное, к которому относится это причастие: в чем? - в рукаве) в окончании пишется буква "Е".

Правильно будет - "в болтающЕмся рукаве".