Как решить задачу про простые числа?

Немнго преобразуем данное в условии выражение.

n⁴ - 79n² + 1 = n⁴ + 2n² + 1 - 81n² = (n² + 1)² - 81n² = (n² + 1 + 9n)(n² + 1 - 9n).

А теперь, вспомнив определение простого числа, приходим к не менее простому выводу о том, что для соблюдения описанного в задаче условия один из двух получившихся сомножителей непременно должен быть равен единице, а второй должен являться простым числом.

Итак, либо (n² + 9n + 1) = 1, либо (n² - 9n + 1) = 1. Первое равенство возможно только при n, равном либо нулю, либо (-9). При n, равном нулю, второй сомножитель (n² - 9n + 1) равен единице, которая простым числом не является, а стало быть, это значение n нам не подходит. А вот при n = -9, (n² - 9n + 1) = 163, то есть условие о том, чтобы заданное в Вашем вопросе выражение являлось простым числом, выполняется.

Второе равенство (n² - 9n + 1) = 1 выполняется только при n, равном либо нулю (но этот вариант мы уже рассматривали, и он нам не подошел), либо девяти. И при n = 9, (n² + 9n + 1) = 163.

Таким образом, n⁴ − 79n² + 1 простое только при n = ±9, что совершенно справедливо было отмечено проголосовавшим под вопросом Инкогнито.

Очевидно, что наибольшим целым из двух получившихся вариантов является n, равное 9.