Как правильно написать - увидеться или увидется? Почему?

Коль скоро это глагол неопределённого вида, то мягкий знак обязателен.

Он не нужен только если у нас глагол в возвратной форме, но это не тот случай. Да и вообще возвратная форма глагола "увидеться" встречается только в первом лице множественного числа ("увидимся завтра"), но никак не в третьем лице единственного. К тому же тогда она писалась бы через и (видеть - глагол второго спряжения).