Какое проверочное слово к слову изощренный­?

Изощрённый - усовершенствованный до виртуозности, утончённый (согласно словарю Ушакова).

Происходит от старославянского слова "изъострити", что означает "оттачивать, делать острым". Так что можно утверждать, что слово "изощрённый" в ретроспективе является однокоренным со словом "острый", что и может служить проверочным словом. Правда, с течением времени корень изменился, и сейчас выделяется "изощр". Но тем не менее, происхождение такое, и это нужно учитывать.

Однокоренное слово современное - "поощрённый", общее происхождение имеет.