При каких а уравнение с модулем имеет два корня?

Проще всего наверное показать графический способ решения этих уравнений.

Итак: |х+1|=а^2+1. Запишем в таком виде: у=|х+1| и у=а^2+1.

Как выглядит график функции у=|х+1|? Строим график функции у=х+1. Затем вместо части графика при х<-1, чертим зеркально симметричный ему относительно оси Х график. Получается "уголок" из двух перпендикулярных линий, расположенный выше оси Х, и касающийся её только в одной точке (-1;0).

Что же касается графика функции у=а^2+1 то это бесконечный набор горизонтальных линий, расположенных выше линии у=1. Все они пересекают уголок в двух точках, значит при любом а данное уравнение имеет по 2 корня (по 2 решения).

Совершенно аналогично и со вторым уравнением.