Вопрос про теорию вероятностей и мат. ожидание. Кто из нас прав?

Конечно же, вы правы.

Ваши выигрыши в разные дни действительно являются независимыми. Более того, в условиях чётко написано, что вероятность получить 0.5$ каждый день одинаковая и равна 68,499%, эта вероятность максимальна, значит, вероятнее всего вы получите приз 0.5$

Что касается аргумента "маловероятно очень часто получать минимальный приз" -- абсолютно любая отдельно взятая комбинация призов маловероятна. Потому что их очень много (78125, если смотреть на комбинации за неделю) и в сумме их вероятности должны дать 100%.

Некоторые комбинации кажутся неправдоподобными, но это связано не с тем, что они имеют низкую вероятность, а потому что они не являются алгоритмически случайными (если очень-очень грубо -- есть алгоритм, который может вывести эти последовательности, имея мало информации, а вообще есть сложное математическое определение, которое ваш друг не поймёт).

P.S.: а математическое ожидание -- около 0.76$, хоть такую сумму и нельзя выиграть.