Как пишется: теперешний­, теперишний­ или теперяшний­? Почему?

Верным написанием будет вариант с Е. Дело в том, что написание суффиксов в русском языке носит устоявшийся характер. Каждый конкретный суффикс, как правило, пишется со своей определённой гласной, и менять её не разрешается. По моим наблюдениям, количество суффиксов, пишущихся через Е, в русском в несколько раз больше, чем тех, которые пишутся с буквой И. В данном случае здесь два суффикса: Е, ШН, так что наше слово пишется именно с Е. Данное прилагательное было образовано от наречия "теперь": теперь --> теперешний. Корень тепер-, суффиксы -е-, -шн-, окончание -ий.