Как пишется: завязанный­ или завязаный­­?

Построим словообразовательную цепочку: вязать => за/вязать => завяза/*ый.

Как видим из этой последовательности, от приставочного глагола да еще и совершенного вида образуется причастие. Оно совершенного вида прошедшего времени, потому что обозначает признак уже совершенного действия.

Именно эти два признака уже обязывают писать в суффиксе два "н" -- завязанный.

Завязанный на память узелок не помог бабушке вспомнить о необходимости выключить вовремя газ.

Если же происходит переход причастия в отглагольное прилагательное, правило все равно остается неизменным и регламентирует писать и в этом случае (по тем же признакам) суффикс с двумя "н".