Как пишется берёшь или берёш?

Чтобы ответить на вопрос о необходимости постановки мягкого знака на конце слова из вопроса, определим, к какой части речи это слово относится.

Береш* что делаешь?, слово называет действие и отвечает на вопрос к глаголу, значит это глагол. Он стоит в форме изъявительного наклонения настоящего времени второго лица единственного числа.

Правило, регламентирующее постановку мягкого знака после шипящих на конце глаголов, включает несколько пунктов:

• мягкий знак после шипящих согласных на конце слова ставится в неопределенной форме глагола: печь, лечь, сечь,
• он необходим в форме повелительного наклонения: увеличь, стеречь!, обналичь.
• ь после шипящих на глагола ставится в форме изъявительного наклонения настоящего и будущего времени второго лица единственного числа: рисуешь, напишешь, учишь.

Это как раз наш случай.

Вывод: данный глагол следует писать с мягким знаком на конце берешЬ.