При каком заболевании возникает кашель с гнойной мокротой?

Точный диагноз после обследования может поставить только врач. А так можно гадать. Симптом барабанных палочек возникает при хронической гипоксии. Так что судя по всему состояние не острое. Могу предположить ХОБЛ - хроническую обструктивную болезнь лёгких.

Как вариант хронический или острый бронхит, возможно, пневмония. Но, это всё предположения. Необходим осмотр врача, рентген, анализ мокроты и крови, а также другие обследования, которые будут проведены по назначению врача.