Задача. Какой автомобиль первым проехал перекресток?

Предположим, в тот момент времени, когда по прямой между автомобилями было 4 км, грузовик находился на расстоянии х км от перекрестка, а легковушка – на расстоянии у км. Также примем косинус угла, под которым пересекаются дороги, за z. Тогда по т. косинусов

х² + у² - 2хуz = 16 (1).

Через четыре минуты грузовик окажется на расстоянии (х + 4) км от перекрестка, а легковушка – (у + 7,6) км. А еще через шесть минут грузовик отъедет от перекрестка на (х + 10) км, а легковушка – на (у + 19) км. Получаем еще два ур-я.

(х+4)² + (у + 7,6)² - 2z(ху + 7,6х + 4у + 30,4) = 81 (2) и

(х+10)² + (у + 19)² - 2z(ху + 19х + 10у + 190) = 289 (3).

Вычтем из второго ур-я первое, применив для простоты формулу разницы квадратов.

8х + 15,2у - 2z(7,6х + 4у + 30,4) + 8,76 = 0 (4).

Теперь вычтем из третьего первое.

20х + 38у - 2z(19х + 10у + 190) + 188 = 0 (5).

Умножим четвертое уравнение на 5, а пятое на 2 и вычтем из пятого четвертое и получим

456z = 332,2;

z ≈ 0,7285.

Подставим это значение в четвертое ур-ие и получим, что

х = (9,372у – 35,5328)/3,0732 ≈ 3,05у – 11,56 (6).

Теперь данное выражение с учетом найденного косинуса угла подставим в первое уравнение (коэффициенты опять-таки приблизительные, но нам аптечная точность и ни к чему).

5,86у² – 53,67у + 117,63 =0, откуда

у1 ≈ 3,63; у2 ≈ 5,53.

Тогда из (6)

х1 ≈ -0,49 (что нам не подходит); х2 ≈ 5,31.

Итак, грузовик потратил на проезд от перекрестка до точки, когда расстояние между машинами по прямой было 4 км, (5,31/60) ч или 5,31 мин. Легковушка же затратила на свой аналогичный путь (5,53/114) ч или 2,91 мин. То есть грузовик проехал перекресток примерно на (5,31 – 2,91) = 2,4 минуты раньше.