Как пишется подъемник­ или подьёмник­?

Правильно писать заданное имя существительное с твёрдым знаком -- подъёмник.

Сразу нужно заметить, что в этом слове корень "подъём", то есть приставка не выделяется в современном русском языке.

Она в настоящее время слилась с корнем, можно считать её бывшей приставкой.

По правилу орфографическому после даже бывших приставок, слившихся с корнем слова, оканчивающихся на согласный и стоящих перед гласными буквами е, ё, ю, я, пишется разделительный твёрдый знак.

От существительного "подъём" образовано и другое существительное -- подъёмник, а также прилагательные "подъёмный" и "неподъёмный". И все они пишутся со знаком Ъ.