Как без ошибок написать с наступающим новым годом?

А это зависит от того, с чем Вы поздравляете. Если с праздником, тогда слово "Новым" пишем с большой буквы, потому что названия праздников принято писать с большой, как и начало предложения, в конце которого, кстати, необходим восклицательный знак. Эмоций же много положительных: радостных, светлых.

Если Вы в сообщении кому-то или в письме имели в виду, что приходит совершенно новый год, всё будет по-новому, а старое и плохое пусть остаётся в старом году, тогда завершить эти пожелания можно поздравлением "С новым годом!", в котором опять-таки первая буква должна быть большой, потому что предложение началось, а слово "новым" уже пишем с маленькой буквы.

В общем, правильное написание зависит от контекста.