Как решать подобные задачи по геометрии?

Если медиана и биссектриса проведены из разных углов равнобедренного треугольника, то эти углы при основании. Следовательно, условию соответствует треугольник АВС, изображенный на рисунке. Здесь СЕ – биссектриса, АD = m – медиана.

Известны: углы α и β. Для доказательства равнобедренности треугольника достаточно вычислить уголβ при заданном угле α при основании. Если вычисленный угол соответствует исходному углу β, то треугольник равнобедренный, в противном случае нет.

Допустим, треугольник АВС равнобедренный. Тогда по теореме синусов

b/sin B = c/sin C или b/sin(180⁰ - 2α) = a/sin α. Откуда

b = a*sin(2α)/sin α = 2a*cos α.

Медиана, выражается через стороны треугольника формулой

m = √(2b² +2c² - a²)/2 , делаем подстановку значений b и с.

m = a √(8*cos² α + 1).

Из треугольника АDС по теореме синусов -

a/2sin γ = m/ sin α, тогда

sin γ = a*sin α/(a √(8*cos² α + 1)) = sin α/(√(8*cos² α + 1)).

Вычисляем искомый угол в треугольнике АОС

β = 180⁰ - α/2 – γ.

На втором рисунке предоставлена таблица соответствия углов α и β.