Сомнения гложут или гложат – как правильно?

Для верного написания личного окончания глагола нужно знать, к какому спряжению он относится. В этом устойчивом сочетании глагольная форма имеет безударное окончание, следовательно, определим по инфинитиву. Итак, что делать? - глодать, -ать- - признак 1-го спряжения. При этом в корне происходит чередование д//ж.

Проспрягаем этот глагол:

я/мы гложу/гложем

ты/вы гложешь/гложете

он, она, оно/они гложет/гложут.

Следовательно, правильно - "сомнения гложут".

Замечу, что этот глагол легко заменяется в рамках устойчивого выражения синонимичными "мучают", "терзают".