Успех, спешка, доспех - однокоренные слова?

Перечисленные слова имеют только общее происхождение (см. данную ниже информацию из этимологического словаря) и, действительно, когда-то имели общий корень "-спе-".

В современном русском языке семантика у слов изменилась, лексическая связь исчезла, отсюда и разные корни: доспех/и (вся основа - корень), спеш/ка, успе/х.

Следовательно, однокоренными эти слова не являются.

Словарные статьи из этимологического словаря Г. Цыганенко

.

.

.