Задача. Вернется ли труба в исходное положение после снятия нагрузки?
На рисунке изображена геометрическая схема положения труб. Нижняя труба – окружность радиусом R с центром в точке О. В верхней трубе центр тяжести обозначен точкой F, на ее середине - А₂F. В исходном положении трубы соприкасались в точках А₁ и А₂. После принудительного наклона верхней трубы, они соприкасаются в точке В.
Длина дуги А₁В и отрезок А₂В равны, так как верхняя труба обкатывает нижнюю без скольжения. Обозначим эту длину (х). Через точку опоры В проведена вертикальная линия DЕ. Если центр тяжести верхней трубы окажется правее этой линии (А₂F > А₂Е), то труба не вернется в исходное положение, если левее (А₂F < А₂Е), - то примет горизонтальное положение. Вот это следует выяснить. А₂F – радиус верхней трубы, который равен 200 мм. Тогда решение задачи сводится к определению длины отрезка А₂Е.
Угол А₁ОВ выраженный в радианах равен
α = А₁В/ОВ =х/R.
В полнее очевидно - треугольники GОВ, А₂ЕВ и DСВ подобны. Обозначим половину длины верхней трубы через L, тогда L = А₂С = х + ВС. В свою очередь ВС = ВD/sin α, тогда
L = х + ВD/sin α (1).
Далее имеем:
ВD = DG + GB = R + R*cos α = R(1 + cos α).
Подставляем полученное значение ВD в выражение (1):
L = х + R(1 + cos α)/sin α или
L = х + R/tg (α/2) (2).
Согласно условию: L = 9000/2 = 4500 (мм), R = 401/2 = 200,5 (мм).
Тогда уравнение (2) принимает следующий вид:
4500 - х – 200,5/tg (х/401) = 0.
Применяя метод последовательных приближений (например, метод секущих), определяем х ≈ 17,926 мм. Исходя из треугольника А₂ЕВ,
А₂Е = х/tg α = х/tg (х/200,5) ≈ 199,965 (мм).
Ввиду того, что А₂Е < 200 мм, труба не вернется в исходное положение.
Здесь налицо вид ограниченно-устойчив
