Надо или нужно. Какая разница и в каких случаях они употребляются?

"Надо" в понимании "необходимо" определяет некие обстоятельства, которые объективно существуют и которые требуется учитывать в любом случае. В логике и математике есть такое понятие как "необходимо и достаточно", определяющее требуемый минимум условий, при котором вычисление или суждение становится истинным.

"Нужно" в понимании "нуждаюсь, хочу" отсылает к субъективным факторам, которые в первую очередь определяются желанием субъекта. "Хочу, могу и буду" - проверочные состояния для применения "нужно".