Почему если 2^3<3^2, то e^π>π^e?

Никакой связи нет. Из первого не следует второе.

Максимум функции f(x) = lnx / x = f(e) = 1/e. Слева от е функция возрастает, справа убывает.

2⁴ = 4², 2⁵ > 5², 2ⁿ > n² при n > 4.

Поэтому и (n + 1)ⁿ < nⁿ⁺¹ при n > 2.