Вправе ли ВАИ останавливать гражданские машины и проверять документы?

ВАИ это та же гос.авто.испекция... Почему нет? Если вы им чем то не приглянулись, вполне могут остановить, а если еще и наводка есть с ГАИ, то имеют полное право. В военное время они вообще имеют старшинство перед ГАИ. Вы конечно можете потребовать у них некие бумажки, но Вам откажут) Они все таки подчиняются армейским офицерам. Да и что такое ВАИ и ГАИ? Они подчиняются одному и тому же "держателю" законов, президенту (который является в то же время и главнокомандующим).