Как пишется слово тратьте или традьте, тратите или тратете? Почему так?

Заданное слово -- это повелительная форма глагола тратить, в котором корень "трат-". Однокоренных слов, входящих в то же семейство слов, что и этот производящий глагол, достаточно много, например, "трата, растрата, утрата".

И сам глагол, и приведенные родственные слова после проверяемой согласной "т" имеют гласный звук, отчего в этих словах четко произносится согласный "т". Это проверочка и форм глагола повелительного наклонения, то есть правильно говорить (и писать, естественно) -- трать (в числе единственном) и тратьте** (в числе множественном).

Мама учила своих детей со школьных лет: "Тратьте деньги с умом и не тратьте слишком много времени на соцсети".

Ну а окончание этого глагола в форме второго лица числа множественного пишется с гласным и, потому что глагол относится ко второму спряжению, как оканчивающийся в неопределенной форме на "-ить": тратить => тратите.

Вы понапрасну тратите свое время на ненужный спор.