Затеить или затеять как пишется? Какое правило? Как проверить?

Для того, чтобы не ошибиться в написании сомнительной гласной в данном слове, следует вспомнить соответствующее правило русского языка, которое объясняет правописание этого глагола.

А правило таково: после гласных у глаголов с усекаемой основой перед -ТЬ пишется буква И, если перед ней находится буква О, и буква Я, если перед ней находится одна из гласных А, У или Е. Исключениями являются глаголы клеить и драить, где после гласных Е и А пишется буква И, а не Я.

Очевидно, что рассматриваемый нами глагол не входит в число исключений. Осталось убедиться, что он имеет усекаемую основу. Вспоминаем, что усекаемыми называются основы глаголы, у которых гласная, находящаяся в инфинитиве (неопределённой форме) перед -ТЬ, отсутствует в форме настоящего или будущего времени. Например, видеть - вижу, видишь, видят, махнуть - махну, махнёте, махнём.

Вернёмся к глаголу "зате*ть". Настоящее время у данного глагола отсутствует, а в будущем времени глагол представлен следующими формами: Видим, что гласная Я или И (какая бы она ни была из них), стоявшая в непределённой форме перед -ТЬ, в будущем времени не сохраняется. Приходим к выводу, что рассмотренное правило написания суффикса в безударном положении в неопределённой форме, можно применять. Что и успешно делаем: поскольку в инфинитиве перед сомнительной гласной стоит буква Е, то нам требуется писать суффикс Я: затеять.