Известны расстояния от точки до вершин треугольника. Как найти площадь?

В правильном треугольнике АВС расстояния от внутренней точки О до вершин равны 3, 4 и 5. Построим треугольник АА₁С, поворотом исходного треугольника на 60⁰ вокруг точки С. В результате получим два треугольника: желтый СОО₁, все стороны которого равны 3, и зеленый АОО₁ - со сторонами 3, 4, 5 (египетский).

Аналогичным способом строим треугольники ВВ₁А и СС₁В, соответственно поворотом исходного треугольника на 60⁰ вокруг точек А и В. Получаем оранжевый и красный правильные треугольники со сторонами 4 и 5 и два идентичных зеленых со сторонами 3, 4, 5.

Из рисунка очевидно - суммарная площадь перечисленных треугольников в два раза больше исходного.

S = (3*3*4/2 + (3² + 4² + 5²)*√3/4)/2 = 9 +25*√3/4 ≈19,825