Имеют ли право уволить работника из-за его сексуальной ориентации?

Нетрадиционная ориентация вовсе не является поводом к увольнению человека. Да и статьи такой в законе не имеется, в которой бы было вообще хоть что-то написано про эту самую ориентацию.

Так что именно за это уволить по закону нельзя. Однако, при желании всегда можно какую-нибудь другую статью применить. Нарушение дисциплины трудовой, может быть должности своей несоответствие и прочие.

Стоит ли свою ориентацию афишировать, если есть опасение, что начальство не слишком долюбливает таких работников. Думаю , нет.

Не за ориентацию, так за что-нибудь другое вполне могут уволить, а причина отыщется всегда.