Задача. На прямой отметили несколько точек (см). Как доказать?

Пусть на прямой имеется к точек, тогда между ними можно поставить (к-1) точек. Получим (2*к-1) точек (это нечетное число). Между этими (2*к-1) точками можно поставить (2*к-1) -1 точек, общее количество точек будет равно 2*(2*к-1) - 1 (это нечетное число). Далее по аналогии на четвертом этапе будет 2*(2*(2*к-1) - 1) -1 точек, опять нечетное число. Понятно, что при любом количестве повторов получится число вида 2*п - 1, то есть нечетное число.

Пример, пусть поставлено 10 точек, между ними 9 точек, всего в сумме 19 точек. Между 19 точками можно поставить 18 точек, в сумме 37. Между 37 точками можно поставить 36 точек, всего 73 точек. Между 73 точками можно поставить 72 точки и в сумме всего 145. Из 10 точек получаем последовательность: 19, 37, 73, 145, 289, 577, ....