Как back-end реализует функции API?

Вопрос ооооочень развернутый :)

Правильно заданный вопрос - половина ответа :)

Если вкратце рассмотреть пример с PHP, то как правило бекенд работает на каком-то фреймворке, или на крайний случай может быть самописным. Но в том или ином случае скорее всего на бек-энде будет реализован роутинг запросов к API, который в зависимости от запроса будет выполнять те или иные действия, и выдавать при этом ответ в определенном формате.