Оплатить по карте - можно ли так говорить?

Глагол "оплатить" переходный, т.е. он не употребляется с предлогами, управляет либо винительным (что? оплатить проезд), либо творительным падежом (чем? оплатить наличными).

Следовательно, верный вариант беспредложный - оплатить (чем?) картой.

Употребление при этом глаголе предлога "по" в современном русском языке считается пока грамматической ошибкой.