Примут ли заявление в госорганы с орфографическими ошибками? Почему?

Если заметят ошибки, то, конечно, не примут.

Попросят исправить.

А если и сами сотрудники этих госорганов окажутся такими же безграмотными, как заявитель, то возьмут.

Почему не примут с ошибками?

Потому что документы должны быть написаны без ошибок.

Ошибка может изменить содержание и данные в целом будут неверными.